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忘れた頃にやってくるのは天災に限らない

前回はっちゃけ過ぎたので若干反省している遊人です。
でもたぶん喉元過ぎればで来週か再来週には忘れているのでしょう。
僕は極めて幸せです。

あれから未だにサヨコに手をつけていない臆病な僕ですが、さらにその前に買っていた(らしい)『シンセミア』が部屋から出てきまして、サヨコはどんどん先延ばし……
この調子だと死ぬまでに『けいおん!』を読める気がしない今日この頃です。

何で買った本忘れちゃうんでしょうね。その時は欲しくて買ったはずなのに……

買った本は忘れても借りた本は忘れないことからすると、買うという行為自体に何かそういう効果があるのでしょうか。

でも、きっと忘れられないより忘れられる方が幸せだよ、と自分を慰めつつ……

忘れてませんよ、前回出した問題は!
解答:
三角形の内心Oから各辺に下ろした垂線の足をP,Q,Rとし、角POQ=2α,角QOR=2β,角ROP=2γとおくと、S=r^2×(tanα+tanβ+tanγ)⇔r^2=S/(tanα+tanβ+tanγ)
r>0よりr^2の最小値を求めればよい
2(α+β+γ)=2πよりtanγ=-tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(tanαtanβ-1)
また、0<α,β,γ<π/2
tanα=a, tanβ=b,k=a+b+(a+b)/(ab-1)とおくと、a,b>0であり、kをaについて微分すると、
k´=(a^2×b^2-2ab-b^2)/(ab-1)^2
kの最小値はa={1+√(1+b^2)}/bのときで、{√(1+b^2)+1}^2/b
ここで、方程式{√(1+b^2)+1}^2/b=3√3…①を考える
分母を払って整理すると2√(1+b^2)=-b^2+3√3b-2
両辺二乗して整理すると、b^3-6√3b^2+27b-12√3=0(bは0でない)
これはb=√3を解に持つので、b-√3で割ると、
b^2-5√3+12=0
(b-4√3)(b-√3)=0
①を満たす解は少なくともb=√3,4√3のみ
ここで①はb=4√3で右辺<0なので不適
{√(1+b^2)+1}^2/b-3√3は明らかに連続であり、b=1で正なので、0またb=2で正なのでb>√3で正
よって最小値はb=√3、a=(1+√4)/√3=√3、すなわちα=β=π/3つまり正三角形のときで、r^2=S/3√3
r=√S/3^3/4



出した当初は微分すれば何とかなると思ってたのですが、思いのほかめんどくさい……
間違いとかあったら教えてください。
これに懲りてしばらくは問題出すの自粛します。
では、また一週間か二週間かしたら会いましょう。

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